Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）①當(dāng)時，根據(jù)，求得在上只有一個零點；②當(dāng)時，分、和，三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點的存在定理，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)的定義域為，

且，

①當(dāng)時，令，即.解得；

令，即，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，由，得或

（i）若，則，所以在上單調(diào)遞增；

（ii）若，則，令，可得或；

令，解得，

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（iii）若，則，令，解得或；

令，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）①當(dāng)時，函數(shù)，令得，

又知當(dāng)時，，當(dāng)時，，

此時在上有且只有一個零點；

②當(dāng)時，

（i）當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞增，，

此時在上有且只有一個零點；

（ii）當(dāng)時，由（1）結(jié)合的單調(diào)性，，只需討論的符號，

當(dāng)時，由，可得在上有且只有一個零點；

當(dāng)時時，由，可得在上無零點；

（iii）若由（1）結(jié)合的單調(diào)性，，

，此時在上有且只有一個零點，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍.