Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x²e^1-x-a（x-1）．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）在（

3

4

，2）內(nèi)的極大值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+a（x-1-e^1-x），當g（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）時，總有x₂g（x₁）≤λf′（x₁），求實數(shù)λ的值．（其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)．）

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=1時，可求得f'（x）=

(2x-x2)-ex-1

ex-1

，令h（x）=（2x-x²）-e^x-1，利用導數(shù)可判斷h（x）的單調(diào)性并得其零點，從而可得原函數(shù)的極值點及極大值；
（Ⅱ）表示出g（x），并求得g'（x）=（-x²+2x+a）e^1-x，由題意，得方程-x²+2x+a=0有兩個不同的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），從而可得△=4+4a＞0及x₁+x₂=2，由x₁＜x₂，得x₁＜1．則x₂g（x₁）≤λf′（x₁）可化為x1[2e1-x1-λ(e1-x1+1)]≤0對任意的x₁∈（-∞，1）恒成立，按照x₁=0、x₁∈（0，1）、x₁∈（-∞，0）三種情況分類討論，分離參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x²e^1-x-（x-1），則f'（x）=（2x-x²）e^1-x-1=

(2x-x2)-ex-1

ex-1

，
令h（x）=（2x-x²）-e^x-1，則h'（x）=2-2x-e^x-1，
顯然h'（x）在（

3

4

，2）內(nèi)是減函數(shù)，
又因h'（

3

4

）=

1

2

-

1

4 e

＜0，故在（

3

4

，2）內(nèi)，總有h'（x）＜0，
∴h（x）在（

3

4

，2）上是減函數(shù)，
又因h（1）=0，
∴當x∈（

3

4

，1）時，h（x）＞0，從而f'（x）＞0，這時f（x）單調(diào)遞增，
當x∈（1，2）時，h（x）＜0，從而f'（x）＜0，這時f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）在（

3

4

，2）的極大值是f（1）=1．                      
（Ⅱ）由題意可知g（x）=（x²-a）e^1-x，則g'（x）=（2x-x²+a）e^1-x=（-x²+2x+a）e^1-x．                   
根據(jù)題意，方程-x²+2x+a=0有兩個不同的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴△=4+4a＞0，即a＞-1，且x₁+x₂=2，∵x₁＜x₂，∴x₁＜1．
由x₂g（x₁）≤λf′（x₁），其中f'（x）=（2x-x²）e^1-x-a，
可得（2-x₁）（x12-a）e1-x1≤λ[(2x1-x12)e1-x1-a]，
注意到-x12+2x1+a=0，
∴上式化為（2-x₁）（2x₁）e1-x1≤λ[(2x1-x12)e1-x1+(2x1-x12)]，
即不等式x1[2e1-x1-λ(e1-x1+1)]≤0對任意的x₁∈（-∞，1）恒成立，
（i）當x₁=0時，不等式x1[2e1-x1-λ(e1-x1+1)]≤0恒成立，λ∈R；
（ii）當x₁∈（0，1）時，2e1-x1-λ(e1-x1+1)≤0恒成立，即λ≥

2e1-x1

e1-x1+1

．
令函數(shù)k（x）=

2e1-x

e1-x+1

=2-

2

e1-x+1

，顯然，k（x）是R上的減函數(shù)，
∴當x∈（0，1）時，k（x）＜k（0）=

2e

e+1

，∴λ≥

2e

e+1

； 
（iii）當x₁∈（-∞，0）時，2e1-x1-λ(e1-x1+1)≥0恒成立，即λ≤

2e1-x1

e1-x1+1

．
由（ii），當x∈（-∞，0）時，k（x）＞k（0）=

2e

e+1

，∴λ≤

2e

e+1

；
綜上所述，λ=

2e

e+1

．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，該題綜合性強，難度大，對能力要求較高．