Question

從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為橢圓的左焦點F₁，M是橢圓的右頂點，N是橢圓的上頂點，且

MN

=λ

OP

(λ＞0)．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）若過右焦點F₂且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為A₁，直線A₁B與x軸交于點R（4，0），求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）令x=-c，得y=

b2

a

，所以點P的坐標為（-c，

b2

a

），由

MN

=λ

OP

，(λ＞0)得到離心率．
（2）設直線l的方程為：x=my+c，（m≠0），與橢圓方程

x2

2c2

+

y2

c2

=1，聯(lián)立得到（m²+2）y²+2mcy-c²=0y²+2mcy-c²=0．記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由韋達定理結(jié)合題設條件能夠求出所求橢圓方程．

解答：解：（1）令x=-c，得y=

b2

a

，所以點P的坐標為（-c，

b2

a

），（2分）
由

MN

=λ

OP

，(λ＞0)得到：

b2 a

c

=

b

a

，（4分）
所以b=c，a²=2c²，即離心率e=

2

2

（6分）
（2）設直線l的方程為：x=my+c，（m≠0），與橢圓方程

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
聯(lián)立得到：（m²+2）y²+2mcy-c²=0y²+2mcy-c²=0．（8分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

-2mc

m2+2

，y1y2=

-c2

m2+2

，（9分）
由A關于x軸的對稱點為A₁，得A₁（x₁，-y₁），
則直線A₁B的方程是：

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

，過點R（4，0）得到：
y₁（my₂-my₁）=4（y₂+y₁）-（my₁+c）（y₂+y₁）（10分）
即：2my₁y₂=（4-c）（y₁+y₂）
所以：

-2mc 2

m2+2

=(4-c)•

-2mc

m2+2

，
得到：c=4-c，所以：c=2（12分）
所以所求橢圓方程為：

x2

8

+

y2

4

=1．（13分）

點評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意橢圓性質(zhì)的靈活運用．