Question

如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關(guān)于x軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個圓所在圓方程是x²+y²-4y-4=0，雙曲線的左、右頂
點(diǎn)A、B是該圓與x軸的交點(diǎn)，雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點(diǎn)．
（1）試求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記雙曲線的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，試在“8”字形曲線上求點(diǎn)P，使得
∠F₁PF₂是直角．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出半圓的圓心和半徑，求得圓與x軸的交點(diǎn)，即有a=2，令y=2，解得交點(diǎn)，代入雙曲線方程，解得b，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（2）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，∠F₁PF₂是直角，則設(shè)P（x，y），則有x²+y²=8，聯(lián)立兩半圓的方程及雙曲線方程，解得交點(diǎn)，注意檢驗(yàn)，即可得到所求的P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）上半個圓所在圓方程是x²+y²-4y-4=0，則圓心為（0，2），半徑為2

2

．
則下半個圓所在圓的圓心為（0，-2），半徑為2

2

．
雙曲線的左、右頂點(diǎn)A、B是該圓與x軸的交點(diǎn)，即為（-2，0），（2，0），即a=2，
由于雙曲線與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點(diǎn)，則令y=2，解得，x=±2

2

．
即有交點(diǎn)為（±2

2

，2）．
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則

8

a2

-

4

b2

=1，且a=2，解得，b=2．
則雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

4

=1；
（2）雙曲線的左、右焦點(diǎn)為F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），
若∠F₁PF₂是直角，則設(shè)P（x，y），則有x²+y²=8，
由

x2+y2=8 x2-y2=4

解得，x²=6，y²=2．
由

x2+y2=8 x2+(y±2)2=8

解得，y=±1，不滿足題意，舍去．
故在“8”字形曲線上所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

6

，

2

），（-

6

，

2

），
（-

6

，-

2

），（

6

，-

2

）．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程的求法，考查圓與圓、雙曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．