Question

在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AD⊥平面PBC，其垂足D落在直線PB上，
（1）求證：BC⊥PB；
（2）若AD=

3

，AB=BC=2，Q為AC的中點(diǎn)，求二面角Q-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PA⊥BC，AD⊥BC，從而BC⊥平面PAB，由此能證明BC⊥PB．
（2）以

AB

、

AP

為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角Q-PB-C的余弦值．

解答： 解：（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC內(nèi)，∴PA⊥BC （1分）
又∵AD⊥平面PBC，BC在平面ABC內(nèi)，∴AD⊥BC（2分）
PA、AD在平面PAB內(nèi)且相交于A，∴BC⊥平面PAB（3分）
而PB在平面PAB內(nèi)，
∴BC⊥PB．（4分）
（2）解：由（1）知BC⊥平面PAB，AB在平面PAB內(nèi)，∴BC⊥AB
∵AD⊥平面PBC，其垂足D落在直線PB上，∴AD⊥PB
設(shè)PA=x，則

4+x2

×

3

=2x⇒x=2

3

（6分）
以

AB

、

AP

為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（2，0，0），Q（1，1，0），P（0，0，2

3

），C（2，2，0）

PB

=(2，0，-2

3

)，

PQ

=(1，1，-2

3

)
設(shè)平面PBQ的法向量為

n

=（x，y，z），
則

(x，y，z)•(2，0，-2 3 )=0 (x，y，z)•(1，1，-2 3 )=0

⇒x=y=

3

z
∴

n

=（3，3，

3

），（8分）
在Rt△ABD中，AD=

3

，AB=2，則BD=1
∴D(

3

2

，0，

3

2

)，

DA

=(-

3

2

，0，-

3

2

)（10分）
由已知

DA

是平面PBC的法向量，
cos＜

n

，

DA

＞=

(3，3， 3 )•(- 3 2 ，0，- 3 2 )

32+32+( 3 )2 × (- 3 2 )2+02+(- 3 2 )2

=-

2 7

7

∴二面角Q-PB-C的余弦值為

2 7

7

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．