Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-1|，a∈R．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）≤4；
（2）當(dāng)x∈（-2，1）時(shí)，f（x）＞|2x-a-1|，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=

4-2x，x＜1 2，1≤x≤3 2x-4，x＞3

，分類討論求得它的解集．
（2）因?yàn)閒（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|，分類討論求得不等式（x-1）（x-a）＜0的解集為A，再根據(jù)（-2，1）⊆A，求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=

4-2x，x＜1 2，1≤x≤3 2x-4，x＞3

，
當(dāng)x＜1時(shí)，由f（x）≤4得4-2x≤4，解得0≤x＜1；
當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（x）≤4恒成立；
當(dāng)x＞3時(shí)，由f（x）≤4得2x-4≤4，解得3＜x≤4，
所以不等式f（x）≤4的解集為{x|0≤x≤4}． 
（2）因?yàn)閒（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|，
當(dāng)（x-1）（x-a）≥0時(shí)，f（x）=|2x-a-1|；
當(dāng)（x-1）（x-a）＜0時(shí)，f（x）＞|2x-a-1|．…（7分）
記不等式（x-1）（x-a）＜0的解集為A，則（-2，1）⊆A，
故a≤-2，所以a的取值范圍是（-∞，-2]．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．