Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn)．

（1）證明：CD⊥平面PAE；
（2）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）

解法一：連接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，

又AD=5，E是CD得中點(diǎn)，

所以CD⊥AE，

PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD．

所以PA⊥CD，

而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，

所以CD⊥平面PAE．

解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PA=h，則A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．

=（﹣4，2，0）， =（2，4，0）， =（0，0，h）．

因?yàn)? =﹣8+8+0=0， =0．

所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，

所以CD⊥平面PAE．

（2）

法一：過點(diǎn)B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于點(diǎn)F，G，連接PF，

由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE．

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角．

由題意∠PBA=∠BPF，因?yàn)閟in∠PBA= ，sin∠BPF= ，所以PA=BF．

由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．

所以四邊形BCDG是平行四邊形，

故GD=BC=3，于是AG=2．

在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，

所以BG= =2 ，BF= = = ．

于是PA=BF= ．

又梯形ABCD的面積為S= ×（5+3）×4=16．

所以四棱錐P﹣ABCD的體積為V= ×S×PA= ×16× = ．

法二：由題設(shè)和第一問知， ， 分別是平面PAE，平面ABCD的法向量，

而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，

所以：|cos＜ ， ＞|=|cos＜ ， ＞|，即| |=| |．

由第一問知 =（﹣4，2，0）， =（（0，0，﹣h），又 =（4，0，﹣h）．

故| |=| |．

解得h= ．

又梯形ABCD的面積為S= ×（5+3）×4=16．

所以四棱錐P﹣ABCD的體積為V= ×S×PA= ×16× = ．

【解析】法一：（1）先根據(jù)條件得到CD⊥AE；再結(jié)合PA⊥平面ABCD即可得到結(jié)論的證明；（2）先根據(jù)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，進(jìn)而得到四邊形BCDG是平行四邊形，在下底面內(nèi)求出BF的長以及下底面的面積，最后代入體積計(jì)算公式即可．
法二：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到 =0以及 =0．即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等得到PA的長，再求出下底面面積，最后代入體積計(jì)算公式即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則