Question

14．如圖，在△APC中，點(diǎn)B是AC中點(diǎn)，AC=2，∠APB=90°，∠BPC=45°，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}$•（2$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$）=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$²=-$\overrightarrow{PA}$²=-|$\overrightarrow{PA}$|²，根據(jù)三角形外角平分線定理及勾股定理求出AP長，可得答案．

解答 解：∵在△APC中，點(diǎn)B是AC中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$，
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}$•（2$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$）=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$²，
∵∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，
即$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\overrightarrow{PA}$²=-|$\overrightarrow{PA}$|²，
∵∠BPC=45°，AC=2，
由三角形外角平分線定理得：PA：PB=AC：BC，
故AP=2PB，AB=1，
解得：AP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\frac{4}{5}$，
故答案為：-$\frac{4}{5}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，難度中檔．