Question

已知函數(shù)f（x）=1n（2ax+1）+－x²－2ax（a∈R）．
（1）若y=f（x）在[4，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=時(shí)，方程f（1－x）=有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

（1）  （2）取到最大值

試題分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以
在上恒成立。
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上為增
函數(shù)，故符合題意。
②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有在上恒成立，
故只能，所以在上恒成立。 .
令函數(shù)，其對稱軸為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011848410398.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011848410398.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
綜上所述，的取值范圍為               
（2）當(dāng)，方程可化為。問題轉(zhuǎn)
化為在上有解，即求函數(shù)的值域。令函數(shù)   
則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，因此。而，所以，因此當(dāng)時(shí)，取到最大值.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值的應(yīng)用，及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值的求解，解答本題要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理與運(yùn)算的能力．