Question

8．已知p：函數(shù)f（x）=lg（x²-2x+a）的定義域為R；q：對任意實數(shù)x，不等式4x²+ax+1＞0成立，若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p，q一真一假，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：當P真時，f（x）=lg（x²-2x+a）的定義域為R，
有△=4-4a＜0，解得a＞1．…..（2分）
當q真時，對任意實數(shù)x，不等式4x²+ax+1＞0成立，
所以△=a²-16＜0，解得-4＜a＜4  …..（4分）
又因為“p∨q”為真，“p∧q”為假，所以p，q一真一假，…..（6分）
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ a≤-4，或a≥4\end{array}\right.$，解得a≥4…..（8分）
當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\-4＜a＜4\end{array}\right.$，解得：-4＜a≤1…..（10分）
所以實數(shù)a的取值范圍是（-4，1]∪[4，+∞）．…..（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式恒成立問題，難度中檔．