Question

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R。

(1)若函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈(0，e](e是自然對數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝2x＋a－＝≤0在上恒成立

令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈，∴h(x)≤0在上恒成立

∴得，∴a≤－.    --------5分

 (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝

①當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減

∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去)

②當(dāng)0<<e即a>時(shí)，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，e]上單調(diào)遞增

∴g(x)min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e2滿足條件

③當(dāng)≥e即0<a≤時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減

g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝>(舍去)

綜上所述：a＝e2        --------10分