Question

【題目】f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
B.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C.（﹣3，0）∪（3，+∞）
D.（﹣3，0）∪（0，3）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：令h（x）=f（x）g（x），則h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)． ①∵當x＜0時，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0時單調(diào)遞增，
故函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．
∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），
∴x＜﹣3．
②當x＞0時，函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)，可知：h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（3）=﹣h（﹣3）=0，
∴h（x）＜0，的解集為（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故選：A
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)，還要掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．