Question

（2013•浙江模擬）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax+1．
（Ⅰ）若x=1時，f（x）取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若對任意m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知當x=1時，f（x）取得極值，所以必有f^′（1）=0，據(jù)此可求出a的值，再驗證a的值是否滿足取得的極值條件即可．
（Ⅱ）先對函數(shù)f（x）求導得f^′（x），需要對a進行分類討論，看其在區(qū)間（0，1）或其子區(qū)間上f^′（x）與0進行比較，可得到其單調(diào)性，進而求出其最小值．
（Ⅲ）因為?m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f（x）的切線，所以f'（x）=x²-a≠-1對x∈R成立，進而求出a的取值范圍即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=x²-a，
當x=1時，f（x）取得極值，∴f'（1）=1-a=0，a=1．
又當x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=1處取得極小值，即a=1符合題意            
（II） 當a≤0時，f'（x）＞0對x∈（0，1]成立，
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f（x）在x=0處取最小值f（0）=1．
當a＞0時，令f'（x）=x²-a=0，x1=-

a

，x2=

a

，
當0＜a＜1時，

a

＜1，當x∈(0，

a

)時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈(

a

，1)時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以f（x）在x=

a

處取得最小值f(

a

)=1-

2a a

3

．
當a≥1時，

a

≥1，x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
所以f（x）在x=1處取得最小值f(1)=

4

3

-a．
綜上所述：
當a≤0時，f（x）在x=0處取最小值f（0）=1．
當0＜a＜1時，f（x）在x=

a

處取得最小值f(

a

)=1-

2a a

3

．
當a≥1時，f（x）在x=1處取得最小值f(1)=

4

3

-a．
（III）因為?m∈R，直線y=-x+m都不是曲線y=f（x）的切線，
所以f'（x）=x²-a≠-1對x∈R成立，
只要f'（x）=x²-a的最小值大于-1即可，
而f'（x）=x²-a的最小值為f（0）=-a
所以-a＞-1，即a＜1．

點評：深刻理解導數(shù)的幾何意義及熟練利用導數(shù)求極值、最值是解題的關鍵．分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想是解題常用的思想方法，應熟練掌握．