Question

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+

3

（2cos²x-1），x∈R．
（Ⅰ）若對任意x恒有f（-

π

6

）≤f（ωx+φ）≤f（

π

3

），（ω＞0，|φ|＜

π

2

），求ω的最小值和對應(yīng)的φ的值．
（Ⅱ）若△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，且f（

A

2

）=1，又b，a，4c成等比數(shù)列，求

sinB

sinC

的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，化簡函數(shù)解析式，得到f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1，然后，依據(jù)f（-

π

6

）≤f（ωx+φ）≤f（

π

3

）恒成立，得到

1

2

T的最大值為：

π

3

-（-

π

6

）=

π

2

，從而求解即可；
（Ⅱ）根據(jù)f（

A

2

）=1，得到A=

2π

3

，然后，結(jié)合邊的關(guān)系和正弦定理，求解其比值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）²+

3

（2cos²x-1）
=1+sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）+1，
∴f（ωx+φ）=2sin（2ωx+2φ+

π

3

）+1，設(shè)其最小正周期為T，
由題意知，

1

2

T_max=

π

3

-（-

π

6

）=

π

2

，
∴T_max=π，
∴ω_min=1，
同時，2×

π

3

+2φ+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈z，
又∵|Φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．

（Ⅱ）∵f（

A

2

）=1，
∴2sin（A+

π

3

）+1=1，
∴sin（A+

π

3

）=0，
∵A∈（0，π）
∴A=

2π

3

，
∵b，a，4c成等比數(shù)列，
∴a²=4bc，
由余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA，得
∴b²+c²-bc=4bc，
∴（

b

c

）²-3

b

c

+1=0，
∴

b

c

=

3± 5

2

，
根據(jù)正弦定理，得

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

sinB

sinC

=

b

c

，
∴

sinB

sinC

的值

3± 5

2

．

點評：本題重點考查了余弦定理、正弦定理、三角恒等變換公式等知識，屬于中檔題．