Question

四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝．

（Ⅰ）求證：SA⊥BC；

（Ⅱ）求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

【解法一】：（Ⅰ）作，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面底面ABCD，得底面ABCD，

因為SA=SB，所以AO=BO，

又，故為等腰直角三角形，，

由三垂線定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設(shè)，

故，由，，，得

SO=1，．△SAB的面積．連結(jié)DB，

得△DAB的面積設(shè)D到平面SAB的距離為h，

由于，得，解得．

設(shè)SD與平面SAB所成角為，則．

所以，直線SD與平面SAB所成的正弦值為．

【解法二】：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足為O，連結(jié)SO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因為SA=SB，所以AO=BO．

又，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB．

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系O—xyz，

，，，S（0，0，1），，

，，所以SA⊥BC．

（Ⅱ）取AB中點E，，

連結(jié)SE，取SE中點G，連結(jié)OG，．

，，．

，，OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE，AB垂直。

所以O(shè)G⊥平面SAB，與的夾角記為，SD與平面SAB所成的角記為，則與互余．

，．，，

所以，直線SD與平面SAB所成的角的正弦值為．