Question

如果函數y=|x|-2的圖象與曲線C：x²+λy²=4恰好有兩個不同的公共點，則實數λ的范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：利用絕對值的幾何意義，由y=|x|-2可得，x≥0時，y=x-2；x＜0時，y=-x-2，確定函數y=|x|-2的圖象與方程x²+λy²=4的曲線必相交于（±2，0），為了使函數y=|x|-2的圖象與方程x²+λy²=4的曲線恰好有兩個不同的公共點，則兩曲線無其它交點．y=x-2代入方程x²+λy²=4，整理可得（1+λ）x²-4λx+4λ-4=0，分類討論，可得結論，根據對稱性，同理可得x＜0時的情形

解答： 解：由y=|x|-2可得，x≥0時，y=x-2；x＜0時，y=-x-2，
∴函數y=|x|-2的圖象與方程x²+λy²=4的曲線必相交于（±2，0），如圖．
所以為了使函數y=|x|-2的圖象與方程x²+λy²=4的曲線恰好有兩個不同的公共點，
則將y=x-2代入方程x²+λy²=4，
整理可得（1+λ）x²-4λx+4λ-4=0，
當λ=-1時，x=2滿足題意，
由于△＞0，2是方程的根，
∴

4(λ-1)

λ+1

＜0，即-1＜λ＜1時，方程兩根異號，滿足題意；
綜上知，實數λ的取值范圍是[-1，1）．
故答案為：（-1，1）

點評：本題考查曲線的交點，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．