Question

在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度．已知曲線C₁：

x=2+ 3 5 t y= 4 5 t

（0＜a＜1為參數(shù)）和曲線C₂：ρsin²θ=2cosθ相交于A、B兩點，設線段AB的中點為M，則點M的直角坐標為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,參數(shù)方程化成普通方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出曲線C₂：ρsin²θ=2cosθ的普通方程，代入直線的普通方程，利用韋達定理求出x₁+x₂的值，然后求解M的坐標．

解答： 解：曲線C₂：ρsin²θ=2cosθ的普通方程為：y²=2x，
曲線C₁：

x=2+ 3 5 t y= 4 5 t

（0＜a＜1為參數(shù)）的普通方程為：4x-3y-8=0，和曲線C₂：y²=2x相交于A、B兩點，
則：

4x-3y-8=0 y2=2x

，可得8x²-41x+32=0，x₁+x₂=

41

8

，

x1+x2

2

=

41

16

，

y1+y2

2

=

2(x1+x2)

3

-

8

3

=

3

4

線段AB的中點為M（

41

16

，

3

4

），
故答案為：(

41

16

，

3

4

)．

點評：本題考查極坐標，直線的參數(shù)方程的應用，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．