Question

若關(guān)于x的不等式cosθ（1-x）²-2x（1-x）+2

2

x²sinθ≥0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，則θ的取值范圍是（　　）

• A、[kπ+

  π

  8

  ，kπ+

  3π

  8

  ]（k∈Z）
• B、[2kπ+

  π

  8

  ，2kπ+

  3π

  8

  ]（k∈Z）
• C、[kπ+

  π

  12

  ，kπ+

  5π

  12

  ]（k∈Z）
• D、[2kπ+

  π

  12

  ，2kπ+

  5π

  12

  ]（k∈Z）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：三角函數(shù)的求值,不等式的解法及應(yīng)用

分析：把給出的不等式整理變形，得到(2

2

sinθ+cosθ+2)x2-(2cosθ+2)x+cosθ＞0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，然后分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0討論，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)不存在滿足條件的θ值；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，由函數(shù)f（x）=cosθ（1-x）²-2x（1-x）+2

2

x²sinθ在[0，1]上的最小值大于等于0列不等式組求得θ的范圍．

解答： 解：由cosθ（1-x）²-2x（1-x）+2

2

x²sinθ≥0，得
cosθ-2x•cosθ+x2cosθ-2x+2x2+2

2

x2sinθ＞0，
即(2

2

sinθ+cosθ+2)x2-(2cosθ+2)x+cosθ＞0．
關(guān)于x的不等式cosθ（1-x）²-2x（1-x）+2

2

x²sinθ≥0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，即
(2

2

sinθ+cosθ+2)x2-(2cosθ+2)x+cosθ＞0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，
若2

2

sinθ+cosθ+2=0，即2cosθ+2=-2

2

sinθ+cosθ，
問題化為(2

2

sinθ-cosθ)x+cosθ＞0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立．
即

cosθ＞0 2 2 sinθ＞0

恒成立，θ∈(2kπ，2kπ+

π

2

)，k∈Z，此時(shí)與2

2

sinθ+cosθ+2=0矛盾；
當(dāng)2

2

sinθ+cosθ+2≠0時(shí)，
∵f（x）在[0，1]的最小值為f（0）或f（1）或f(

2cosθ+2

2 2 sinθ+cosθ+2

)，
∴

f(0)=cosθ＞0 f(1)=2 2 sinθ＞0 f( 2cosθ+2 2 2 sinθ+cosθ+2 )= 2 sin2θ-1 2 2 sinθ+cosθ+2 ＞0

，
解得：2kπ+

π

8

≤θ≤2kπ+

3π

8

，k∈Z．
∴θ的取值范圍是[2kπ+

π

8

，2kπ+

3π

8

]（k∈Z）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了三角函數(shù)的有界性，訓(xùn)練了利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．