Question

已知四棱錐中，，，且底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，是側(cè)棱上的一點(diǎn)(如圖所示).

（1）如果點(diǎn)在線段上，，且，求的值；

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

解：(1)連接CF并延長(zhǎng)交AB于K，連接PK，

因?yàn)椋篍F//平面PAB ,EFÌ 平面PCK，平面PCKÇ平面PAB = PK，

\ EF// PK，因?yàn)镈F=3FB，AB//CD ，\ CF=3KF，

又因?yàn)椋篍F// PK，\ CE= 3PE, \ = -----4分

(2) 以C 為原點(diǎn)，CD，CB，CP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間坐標(biāo)系

（如圖所示）則有：

C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0)

B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, ),F(,,0)

故= (,,- ),= (,- ,0)

= (,,0)-----------6分

設(shè)= (x₁ ,y₁ ,z₁)是平面BEF的一個(gè)法向量

則有：,取x=1得：= (1，1，)

----------------------------------8分

同理：平面CEF的一個(gè)法向量為：= (3,-1,0) -----------------10分

cos<,> = =

所以：二面角B—EF—C的余弦值為：- .-----------12分