Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，求證：AD⊥DC₁．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD，由已知條件得OD∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面ADC₁．
（2）由已知得AD⊥BC，AD⊥平面BCC₁B₁，由此能證明AD⊥DC₁．

解答： （1）證明：連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，
連結(jié)OD，則O為A₁C的中點(diǎn)，
∵D為BC的中點(diǎn)，∴OD∥A₁B，
∵OD?平面ADC₁，A₁B不包含于平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．
（2）證明：∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，
AD?平面ABC，∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵DC₁?平面BCC₁B₁，∴AD⊥DC₁．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．