Question

已知直線l：x+y-2=0，一束光線從點P（0，1+

3

）以120°的傾斜角射到直線l上反射．
（1）求反射光線所在直線m的方程；
（2）若M是圓C：（x-1）²+（y+1）²=1上一點，求點M到直線m的距離的最大值和最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出入射點、P關于l的對稱點的坐標，利用兩點式，可得反射光線所在直線m的方程；
（2）求出圓心到直線的距離，則點M到直線m的距離的最大值為d+r，最小值d-r．

解答： 解：（1）設入射光線所在直線l₁，斜率為k₁，則k₁=tan120°=-

3

，
l₁：y-（1+

3

）=-

3

x，
與x+y-2=0聯(lián)立，入射點A （1，1），
設P′（m，n）為P關于l的對稱點，
則

1+ 3 -n 0-m •(-1)=-1 m 2 + n+1+ 3 2 -2=0

，
解得m=1-

3

，n=2，即P’（1-

3

，2），
∴反射光線所在直線AP′：

y-1

2-1

=

x-1

1- 3 -1

，即 x+

3

y-1-

3

=0．
（2）圓C：（x-1）²+（y+1）²=1，可得圓心為（1，-1），半徑r=1，
∵圓心到直線的距離d=

|1+ 3 •(-1)-1- 3 |

2

=

3

，
∴點M到直線m的距離的最大值為：d+r=

3

+1，最小值：d-r=

3

-1．

點評：本題考查點的對稱問題，考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．