Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，四邊形是邊長為6的正方形，直線與平面所成的角的正切值為3，點為棱上的動點，且.

（1）當為何值時，平面?

（2）當時，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）取為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直線坐標系．利用正方形的性質與已知可得：平面，于是平面．得到就是直線與平面平面所成的角，可得，利用，，解出即可．

（2）若，設平面的法向量為．利用，可得，又平面的法向量為．利用即可得出．

解：（1）取為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直線坐標系．

四邊形是邊長為6的正方形，．

，．

又易知平面，

，又，平面，平面．

平面．

就是直線與平面平面所成的角，

，

，

設，則點，0，，，0，，，6，，，0，，，0，．

，6，，，0，，，0，．

由，，

解得，由于．

故當時，平面．

（2）若，則點，0，，，0，，，6，，

設平面的法向量為．

由，得

令，得，1，，又平面的法向量為，1，．

設二面角的大小為，則，

，．

即二面角的正切值為2．