Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，a_n+1=

1

2

an2-an+2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）是否存在實數(shù)a使得{a_n}為等差數(shù)列，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）當(dāng)a=4時，證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）an+1-an=

1

2

an2-2an+2=

1

2

(an-2)2，若{a_n}為等差數(shù)列，則公差為0，從而a_n=2，由此求出a=2．
（Ⅱ）由an+1-2=

1

2

an2-an=

1

2

an(an-2)，得

1

an+1-2

=

1

1 2 an(an-2)

=

1

an-2

-

1

an

，由此能證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：an+1-an=

1

2

an2-2an+2=

1

2

(an-2)2，
若{a_n}為等差數(shù)列，
則

1

2

(an-2)2為常數(shù)，
即a_n為常數(shù)，
從而公差為0，∴a_n=2，
此時{a_n}為常數(shù)列，是等差數(shù)列，
所以存在a=2滿足題意．…（4分）
（Ⅱ）證明：an+1-2=

1

2

an2-an=

1

2

an(an-2)，
則

1

an+1-2

=

1

1 2 an(an-2)

=

1

an-2

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2

-

1

an+1-2

an+1-an=

1

2

(an-2)2，
∵a₁≠2∴a_n≠2，
∴a_n+1-a_n＞0數(shù)列{a_n}單增，
∴a_n+1＞a₁=4，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．…（12分）

點評：本題考查使數(shù)列為等差數(shù)列的實數(shù)值的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．