【題目】如圖，在三棱錐中，，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）先在中運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)得，再在中利用勾股定理的逆定理得，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；

（2）以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）由題意，是邊長為2的等邊三角形，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，且．

如圖（1）所示，連接，因?yàn)?/span>是斜邊長為2的等腰直角三角形，所以．

在中，，可得，所以，

又因?yàn)?/span>，平面平面，所以平面．

（2）由（1）可知平面，且，

分別以所在的直線為軸建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，

可得，，

設(shè)平面的法向量為，則 ，即，

取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)與平面所成的角為，則，

故直線與平面所成角的正弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立坐標(biāo)系．

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，為等腰直角三角形，，，，則異面直線AB與所成角的余弦值為_______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績構(gòu)成．等級(jí)性考試成績位次由高到低分為，，，，，各等級(jí)人數(shù)所占比例依次為：等級(jí)15%，等級(jí)40%，等級(jí)30%，等級(jí)14%，等級(jí)1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級(jí)性考試的學(xué)生中抽取1000人作為樣本，則該樣本中獲得或等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為（ ）

A.275B.400C.550D.450

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎，其病原體是一種先前未在人類中發(fā)現(xiàn)的新型冠狀病毒，即2019新型冠狀病毒.2020年2月7日，國家衛(wèi)健委決定將“新型冠狀病毒感染的肺炎”暫命名為“新型冠狀病毒肺炎”，簡稱“新冠肺炎”.患者初始癥狀多為發(fā)熱、乏力和干咳，并逐漸出現(xiàn)呼吸困難等嚴(yán)重表現(xiàn).基于目前流行病學(xué)調(diào)查，潛伏期為1~14天，潛伏期具有傳染性，無癥狀感染者也可能成為傳染源.某市為了增強(qiáng)民眾防控病毒的意識(shí)，舉行了“預(yù)防新冠病毒知識(shí)競賽”網(wǎng)上答題，隨機(jī)抽取人，答題成績統(tǒng)計(jì)如圖所示.

（1）由直方圖可認(rèn)為答題者的成績服從正態(tài)分布，其中分別為答題者的平均成績和成績的方差，那么這名答題者成績超過分的人數(shù)估計(jì)有多少人？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表）

（2）如果成績超過分的民眾我們認(rèn)為是“防御知識(shí)合格者”，用這名答題者的成績來估計(jì)全市的民眾，現(xiàn)從全市中隨機(jī)抽取人，“防御知識(shí)合格者”的人數(shù)為，求.（精確到）

附：①，；②，則，；③，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象上所有的點(diǎn)（ ）

A.向左平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變

B.向左平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍橫坐標(biāo)不變

C.向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變

D.向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是.

（1）若直線與圓有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)且與直線平行的直線交圓于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，且，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，記，分別為函數(shù)的最大值和最小值.

（1）試判斷在上的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】福利彩票“雙色球”中紅色球由編號(hào)為的個(gè)球組成.某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取組數(shù)作為個(gè)紅色球的編號(hào)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表（如下）第行的第列數(shù)字開始從左向右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第個(gè)紅色球的編號(hào)為（ ）

49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64

57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

A.B.C.D.

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