3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若3cos(B-C)-2=6cosBcosC.
(1)求cosA的值;
(2)若a=$\sqrt{5}$,△ABC的面積為$\sqrt{5}$,求b,c邊長(zhǎng).

分析 (1)由已知利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得$cos({B+C})=-\frac{2}{3}$,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,誘導(dǎo)公式即可求得cosA的值.
(2)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA,結(jié)合三角形面積公式可求bc=6,利用余弦定理可求b+c=5,聯(lián)立即可解得b,c的值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)由3cos(B-C)-2=6cosBcosC,
得3(cosBcosC-sinBsinC)=-2,…(2分)
即$cos({B+C})=-\frac{2}{3}$,…(3分)
在△ABC內(nèi),$cosA=-cos({B+C})=\frac{2}{3}$,…(5分)
(2)∵$0<A<π,cosA=\frac{2}{3}$,
∴$sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$,由$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{3}$bc,可得:bc=6,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,…(8分)
∴5=(b+c)2-2bc(1+cosA)=(b+c)2-20,
∴b+c=5…(10分)
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{b+c=5}\\{bc=6}\end{array}}\right.$,得$\left\{{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=2}\end{array}}\right.$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式,三角形內(nèi)角和定理,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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13.關(guān)于x的函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(x2-ax+2a)在[1,+∞)上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(-∞,2]B.(-1,+∞)C.(-1,2]D.(-∞,-1)

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14.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),若f(x)-g(x)=21-X,則g(-1)=$-\frac{3}{2}$.

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11.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,AD=2BC=2,BC⊥DC,∠BAD=60°,平面PAD⊥底面ABCD,E為AD的中點(diǎn),△PAD為正三角形,M是棱PC上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)).
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18.已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex(x>-3),其中a∈R.
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8.( I)若直線l:(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)的橫截距是縱截距的2倍,求直線l的方程;
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15.已知函數(shù)g(x)=xe(2-a)x(a∈R),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論g(x)的單調(diào)性;
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12.(1)當(dāng)x>0時(shí),求證:2-$\frac{e}{x}≤lnx≤\frac{x}{e}$;
(2)當(dāng)函數(shù)y=ax(a>1)與函數(shù)y=x有且僅有一個(gè)交點(diǎn),求a的值;
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