Question

15．已知函數(shù)g（x）=xe^（2-a）x（a∈R），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論g（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）=lng（x）-ax²的圖象與直線y=m（m∈R）交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，證明：f'（x₀）＜0．（f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可證明不等式．

解答 解：（1）由題可知，g'（x）=e^（2-a）x+xe^（2-a）x（2-a）=e^（2-a）x[（2-a）x+1]．
①當(dāng)a＜2時(shí)，令g'（x）≥0，則（2-a）x+1≥0，∴$x≥\frac{1}{a-2}$，令g'（x）＜0，則（2-a）x+1＜0，∴$x＜\frac{1}{a-2}$．
②當(dāng)a=2時(shí)，g'（x）＞0．
③當(dāng)a＞2時(shí)，令g'（x）≥0，則（2-a）x+1≥0，∴$x≤\frac{1}{a-2}$，令g'（x）＜0，則（2-a）x+1＜0，∴$x＞\frac{1}{a-2}$，
綜上，①當(dāng)a＜2時(shí)，y=g（x）在$（{-∞，\frac{1}{a-2}}）$上單調(diào)遞減，在$[{\frac{1}{a-2}，+∞}）$上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a=2時(shí)，y=g（x）在R上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＞2時(shí)，y=g（x）在$（{-∞，\frac{1}{a-2}}）$上單調(diào)遞增，在$[{\frac{1}{a-2}，+∞}）$上單調(diào)遞減．
（2）因?yàn)閒（x）=ln（xe^（2-a）x）-ax²=lnx+（2-a）x-ax²（x＞0），
所以$f'（x）=\frac{1}{x}+（{2-a}）-2ax=-\frac{{（{2x+1}）（{ax-1}）}}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，與x軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故a＞0．
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）≥0，則$0＜x≤\frac{1}{a}$；令f'（x）＜0，則$x＞\frac{1}{a}$．
故y=f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}]$上單調(diào)遞增，在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$上單調(diào)遞減．
不妨設(shè)A（x₁，m），B（x₂，m），且$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}＜{x_2}$．
要證f'（x₀）＜0，需證ax₀-1＞0，即證${x_0}＞\frac{1}{a}⇒{x_1}+{x_2}＞\frac{2}{a}⇒{x_2}＞\frac{2}{a}-{x_1}⇒f（{x_2}）＜f（{\frac{2}{a}-{x_1}}）$，
又f（x₁）=f（x₂），
所以只需證$f（{x_1}）＜f（{\frac{2}{a}-{x_1}}）$．即證：當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{a}$時(shí)，$f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）＞0$．
設(shè)$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）=ln（{2-ax}）-ln（{ax}）+2ax-2$，
則$F'（x）=-\frac{2}{2-ax}-\frac{1}{x}+2a=-\frac{{2{{（{ax-1}）}^2}}}{{x（{2-ax}）}}＜0$，
所以$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）$在$（{0，\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞減，
又$F（{\frac{1}{a}}）=f（{\frac{2}{a}-\frac{1}{a}}）-f（{\frac{1}{a}}）=0$，
故$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）＞0$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于中檔題．