分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可證明不等式.
解答 解:(1)由題可知,g'(x)=e(2-a)x+xe(2-a)x(2-a)=e(2-a)x[(2-a)x+1].
①當(dāng)a<2時(shí),令g'(x)≥0,則(2-a)x+1≥0,∴$x≥\frac{1}{a-2}$,令g'(x)<0,則(2-a)x+1<0,∴$x<\frac{1}{a-2}$.
②當(dāng)a=2時(shí),g'(x)>0.
③當(dāng)a>2時(shí),令g'(x)≥0,則(2-a)x+1≥0,∴$x≤\frac{1}{a-2}$,令g'(x)<0,則(2-a)x+1<0,∴$x>\frac{1}{a-2}$,
綜上,①當(dāng)a<2時(shí),y=g(x)在$({-∞,\frac{1}{a-2}})$上單調(diào)遞減,在$[{\frac{1}{a-2},+∞})$上單調(diào)遞增;
②當(dāng)a=2時(shí),y=g(x)在R上單調(diào)遞增;
③當(dāng)a>2時(shí),y=g(x)在$({-∞,\frac{1}{a-2}})$上單調(diào)遞增,在$[{\frac{1}{a-2},+∞})$上單調(diào)遞減.
(2)因?yàn)閒(x)=ln(xe(2-a)x)-ax2=lnx+(2-a)x-ax2(x>0),
所以$f'(x)=\frac{1}{x}+({2-a})-2ax=-\frac{{({2x+1})({ax-1})}}{x}$,
當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,與x軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn),故a>0.
當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)≥0,則$0<x≤\frac{1}{a}$;令f'(x)<0,則$x>\frac{1}{a}$.
故y=f(x)在$({0,\frac{1}{a}}]$上單調(diào)遞增,在$({\frac{1}{a},+∞})$上單調(diào)遞減.
不妨設(shè)A(x1,m),B(x2,m),且$0<{x_1}<\frac{1}{a}<{x_2}$.
要證f'(x0)<0,需證ax0-1>0,即證${x_0}>\frac{1}{a}⇒{x_1}+{x_2}>\frac{2}{a}⇒{x_2}>\frac{2}{a}-{x_1}⇒f({x_2})<f({\frac{2}{a}-{x_1}})$,
又f(x1)=f(x2),
所以只需證$f({x_1})<f({\frac{2}{a}-{x_1}})$.即證:當(dāng)$0<x<\frac{1}{a}$時(shí),$f({\frac{2}{a}-x})-f(x)>0$.
設(shè)$F(x)=f({\frac{2}{a}-x})-f(x)=ln({2-ax})-ln({ax})+2ax-2$,
則$F'(x)=-\frac{2}{2-ax}-\frac{1}{x}+2a=-\frac{{2{{({ax-1})}^2}}}{{x({2-ax})}}<0$,
所以$F(x)=f({\frac{2}{a}-x})-f(x)$在$({0,\frac{1}{a}})$上單調(diào)遞減,
又$F({\frac{1}{a}})=f({\frac{2}{a}-\frac{1}{a}})-f({\frac{1}{a}})=0$,
故$F(x)=f({\frac{2}{a}-x})-f(x)>0$.
點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和應(yīng)用,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,屬于中檔題.
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A. | 4 cm2 | B. | 4$\sqrt{2}$ cm2 | C. | 8 cm2 | D. | 8$\sqrt{2}$ cm2 |
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A. | -2 | B. | -1 | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | 2 |
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A. | a>b>c | B. | a>c>b | C. | b>a>c | D. | b>c>a |
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