Question

自駕游從A地到B地有甲乙兩條線路，甲線路是A-C-D-B，乙線路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵車路段．假設(shè)這三條路段堵車與否相互獨(dú)立．這三條路段的堵車概率及平均堵車時(shí)間如表所示：

堵車時(shí)間（小時(shí)）	頻數(shù)
[0，1]	8
（1，2]	6
（2，3]	38
（3，4]	24
（4，5]	24

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)堵車概率x在（

2

3

，1）上變化，y在（0，

1

2

）上變化．在不堵車的狀況下，走甲路線需汽油費(fèi)500元，走乙線路需汽油費(fèi)545元．而每堵車1小時(shí)，需多花汽油費(fèi)20元．路政局為了估計(jì)CD段平均堵車時(shí)間，調(diào)查了100名走甲線路的司機(jī)，得到如表數(shù)據(jù)．

路段	CD	EF	GH
堵車概率	x	y	1 4
平均堵車時(shí)間（小時(shí)）	a	2	1

（Ⅰ）根據(jù)右表數(shù)據(jù)畫出CD段堵車時(shí)間頻率分布直方圖并求CD段平均堵車時(shí)間a的值；
（Ⅱ）若只考慮所花汽油費(fèi)的期望值大小，為了節(jié)約，求選擇走甲線路的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知數(shù)據(jù)能畫出CD段堵車時(shí)間頻率分布直方圖，用總的堵車時(shí)間除以總?cè)藬?shù)100人，即得到平均堵車時(shí)間；
（2）利用獨(dú)立事件求出每種情況的概率，選擇甲路線說明甲需汽油費(fèi)少，利用線性規(guī)劃化畫出區(qū)域圖，再利用幾何概型求概率．

解答： 解：（1）由CD段平均堵車時(shí)間，調(diào)查了100名走甲線路的司機(jī)，
得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，
作出CD段堵車時(shí)間頻率分布直方圖，如右圖．
a=0.5×

8

100

+1.5×

6

100

+2.5×

38

100

+3.5×

24

100

+4.5×

24

100

=3．
（2）設(shè)走甲線路所花汽油費(fèi)為X元，
則EX=500（1-x）+（500+60）x=500+60x．
設(shè)走乙線路多花的汽油費(fèi)為Y元，∵EF段與CH段堵車與否相互獨(dú)立，
∴P（Y=0）=（1-y）（1-

1

4

），
P（Y=20）=（1-y）•

1

4

，
P（Y=40）=y（1-

1

4

），
P（Y=60）=

1

4

y，
∴EY=0•(1-y)(1-

1

4

)+20•(1-y)•

1

4

+40y(1-

1

4

)+60•

1

4

y=40y+5．
∴走乙線路所花的汽油費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為E（545+Y）=545+E（Y）=550+40y，
依題意，選擇走甲線路應(yīng)滿足（550+40y）-（500+60x）≥0，
即6x-4y-5≤0，又

2

3

＜x＜1，0＜y＜

1

2

，
∴P（選擇走甲線路）=

(1- 2 3 )× 1 2 - 1 2 (1- 5 6 )× 1 4

(1- 2 3 )× 1 2

=

7

8

．

點(diǎn)評：本題考查利用頻率分布表求平均數(shù)，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量分布列，數(shù)學(xué)期望，幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)用統(tǒng)計(jì)、概率、數(shù)學(xué)期望等數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，以及運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法．