Question

已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點(diǎn)，PC是∠APB的平分線(xiàn)，E是下半圓的中點(diǎn)．
求證：直線(xiàn)PC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專(zhuān)題：立體幾何

分析：連結(jié)AE，EB，OE，因?yàn)锳B是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點(diǎn)，PC是∠APB的平分線(xiàn)，E是下半圓的中點(diǎn)，得到∠AOE=∠BOE=90°，利用圓周角定理得到∠APE=

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∠AOE=45o．    利用，∠APB的平分線(xiàn)有且只有一條，只要證明PC與PE重合．

解答： 證明：連結(jié)AE，EB，OE，因?yàn)锳B是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點(diǎn)，PC是∠APB的平分線(xiàn)，E是下半圓的中點(diǎn)
則∠AOE=∠BOE=90°．     …（2分）
因?yàn)椤螦PE是圓周角，∠AOE同弧上的圓心角，
所以∠APE=

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∠AOE=45o．                         …（5分）
同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分線(xiàn)．   …（8分）
又PC也是∠APB的平分線(xiàn)，∠APB的平分線(xiàn)有且只有一條，所以PC與PE重合．
所以直線(xiàn)PC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是熟練圓周角定理的內(nèi)容，正確運(yùn)用．