Question

已知拋物線C的頂點為坐標原點，其焦點為F（0，c），（0＜c＜2），點E（2

3

，y₀），A，B都是拋物線上的點，且|EF|=4，

AF

=4

FB

，過A，B兩點分別作拋物線的切線，設其焦點為M．
（1）求拋物線C的解析式；
（2）求△ABM的面積．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設拋物線方程為x²=2py，p＞0，由已知得

py0=6 2y0+p=8 0＜ p 2 ＜2

，由此能求出拋物線C的解析式．
（2）由已知設A（x1，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），F(xiàn)（0，1），(-x1，1-

x12

4

)=4（x2，

x22

4

-1），解得

x1=4 x2=-1

，或

x1=-4 x2=1

，由x²=4y，得y′=

x

2

，從而直線PA：y=

x1x

2

-

x12

4

，PB：y=

x2x

2

-

x22

4

，取

x1=4 x2=-1

，得A（4，4），B（-1，

1

4

），M（

3

2

，-1），由此能求出△ABM的面積．

解答： 解：（1）∵拋物線C的頂點為坐標原點，其焦點為F（0，c），（0＜c＜2），
點E（2

3

，y₀），A，B都是拋物線上的點，且|EF|=4，
∴設拋物線方程為x²=2py，p＞0，
由已知得

py0=6 2y0+p=8 0＜ p 2 ＜2

，解得p=2，
∴拋物線C的解析式為x²=4y．
（2）由已知設A（x1，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），F(xiàn)（0，1），
∵

AF

=4

FB

，∴(-x1，1-

x12

4

)=4（x2，

x22

4

-1），
即

x1=-4x2 1- x12 4 =x22-4

，解得

x1=4 x2=-1

，或

x1=-4 x2=1

，
由x²=4y，得y′=

x

2

，
∴直線PA：y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁），即y=

x1x

2

-

x12

4

，①
直線PB：y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂），即y=

x2x

2

-

x22

4

，②，
由①②得：

x= x1+x2 2 y= x1x2 4

，
取

x1=4 x2=-1

，得A（4，4），B（-1，

1

4

），M（

3

2

，-1），
∴

AB

=（-5，-

15

4

），

AM

=（-

5

2

，-5），
|

AB

|=

25

4

，|

AM

|=

5 5

2

，cos＜

AB

，

AM

＞=

25 2 + 75 4

25 4 × 5 5 2

=

2 5

5

，
∴sin＜

AB

，

AM

＞=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

，
∴S_△ABM=

1

2

×|

AB

|×|

AM

|×sin＜

AB

，

AM

＞=

1

2

×

25

4

×

5 5

2

×

5

5

=

125

16

．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)的幾何意義的合理運用．