已知函數(shù)f(x)=x2-1-
1
x

(1)求函數(shù)y=f(x)的零點的個數(shù);
(2)令g(x)=
ax2+ax
xf(x)+
x
+lnx,若函數(shù)y=g(x)在(0,
1
e
)內(nèi)有極值,求實數(shù)a的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(1)先求導,得到f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,根據(jù)函數(shù)零點的判定定理證得函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有唯一零點,從而得出結(jié)論.
(2)先化簡得到g(x)=
a
x-1
+lnx,再求導,令設(shè)h(x)=x2-(2+a)x+1,要使函數(shù)g(x)在(0,
1
e
)內(nèi)有極值,設(shè)有兩個不等實根x1,x2,至少有一根在(0,
1
e
)內(nèi),結(jié)合題意即可求得實數(shù)a的取值范圍.
解答: 解:(1)∵f′(x)=2x+
1
2
x3
>0
∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,
又f(1)=-1<0,f(2)=3-
2
2
>0,
∴f(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一的零點
故f(x)在(0,+∞)上有一個零點.
(2)g(x)=
ax2+ax
xf(x)+
x
+lnx=
ax2+ax
x3-x
+lnx=
ax(x+1)
x(x+1)(x-1)
+lnx=
a
x-1
+lnx,
其定義域(0,1)∪(1,+∞),
則g′(x)=
1
x
-
a
(x-1)2
=
x2-(2+a)x+1
x(x-1)2
,
設(shè)h(x)=x2-(2+a)x+1,要使函數(shù)g(x)在(0,
1
e
)內(nèi)有極值,
由于h(0)=1,則h(x)=0在(0,+∞) 內(nèi)有兩個不等實根x1,x2,
∴△=(2+a)2-4>0.
解得a>0,或a<-4
又x1,x2至少有一根在(0,
1
e
)內(nèi),不妨設(shè)x1∈(0,
1
e
),
由x1•x2=1得0<x1
1
e
<x2,
∴只需h(
1
e
)<0,
∴a>e+
1
e
-2
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,著重考查函數(shù)在某點取得極值的條件,考查分類討論與化歸思想,屬于中檔題
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1
a
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1
2
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x-6
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>0},求∁U(A∪B).

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