Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（x-1），g（x）=log 

1

a

（3-x）
（1）若h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的值域；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論不等式f（x）+g（x）≥0中x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)h（x）=f（x）-g（x），求出函數(shù)的定義域，然后通過(guò)a的范圍討論函數(shù)h（x）的值域；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，討論a的范圍，列出不等式f（x）+g（x）≥0的不等式組，求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）h(x)=loga(x-1)-log

1

a

(3-x)=loga(x-1)(3-x)
由

x-1＞0 3-x＞0

得1＜x＜3所以函數(shù)h（x）的定義域?yàn)椋?，3）
令t=（x-1）（3-x）而x∈（1，3）所以t∈（0，1]
當(dāng)0＜a＜1時(shí)log_at≥0即h（x）≥0
當(dāng)a＞1時(shí)log_at≤0即h（x）≤0
所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)函數(shù)h（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；當(dāng)a＞1時(shí)函數(shù)h（x）的值域?yàn)椋?∞，0]
（2）由f（x）+g（x）≥0得f（x）≥-g（x）即log_a（x-1）≥log_a（3-x）①
當(dāng)0＜a＜1時(shí)要使不等式①成立則

x-1＞0 3-x＞0 x-1≤3-x

即1＜x≤2
當(dāng)時(shí)要使不等式①成立則

x-1＞0 3-x＞0 x-1≥3-x

即2≤x＜3
綜上所述當(dāng)0＜a＜1時(shí)不等式f（x）+g（x）≥0中x的取值范圍為（1，2]
當(dāng)a＞1時(shí)不等式f（x）+g（x）≥0中x的取值范圍為[2，3）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，分類討論的應(yīng)用，不等式組的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．