Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+cos（$\frac{π}{3}$-2x）．
（1）求f（x）在[0，π]上的減區(qū)間；
（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=2，且向量$\overrightarrow m$=（1，2）與向量$\overrightarrow n$=（sinB，sinC）共線，求$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)f（x）利用二倍角公式和兩角和與差以及輔助角公式化簡，結合三角函數(shù)圖象及性質求解f（x）在[0，π]上的減區(qū)間．
（2）利用f（A）=2，求出A，向量$\overrightarrow m$=（1，2）與向量$\overrightarrow n$=（sinB，sinC）共線，可得sinC=2sinB，利用余弦定理可得求$\frac{a}$的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin²x+cos（$\frac{π}{3}$-2x）．
化簡可得：f（x）=1-cos2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1
（1）2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得：kπ$+\frac{π}{3}$≤x≤kπ$+\frac{5π}{6}$（k∈Z）
∵x∈[0，π]，
∴k=0時，可得$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}$．
即f（x）在[0，π]上的減區(qū)間為[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1
那么：f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=2
解得：A=$\frac{π}{3}$
∵向量$\overrightarrow m$=（1，2）與向量$\overrightarrow n$=（sinB，sinC）共線，
∴sinC=2sinB，
可得：c=2b
則cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2cb}$，
即a²=3b²，
故得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡能力和性質的運用以及向量共線的坐標運算，正余弦定理的運用．屬于中檔題．