Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R）．
（1）若a=0，當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)恒有f（x）≥0，求b的取值范圍；
（2）若a≠0且b=-1，試在直角坐標(biāo)平面內(nèi)找出橫坐標(biāo)不同的兩個(gè)點(diǎn)，使得函數(shù)y=f（x）的圖象永遠(yuǎn)不經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)；
（3）當(dāng)a²+b²=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)x₀，求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）求出a=0的解析式，再一次函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式，即可得到范圍；
（2）（2）b=-1時(shí)，y=a（x²-1）-x-2，當(dāng)x²=1時(shí)，無(wú)論a取任何值，y=-x-2為定值，y=f（x）圖象一定過(guò)點(diǎn)（1，-3）和（-1，-1），運(yùn)用函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（3）存在x₀，ax₀²+（2b+1）x₀-a-2=0，即（x₀²-1）a+（2x₀）b+x₀-2=0，可看作點(diǎn)（a，b）的直線方程，而a²+b²=1可看作點(diǎn)（a，b）的圓，運(yùn)用直線和圓有交點(diǎn)的條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，解不等式即可得到范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（2b+1）x-2，
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)恒有f（x）≥0，
則f（

1

2

）≥0且f（1）≥0，
即b-

3

2

≥0且2b-1≥0，
解得b≥

3

2

；

（2）b=-1時(shí)，y=a（x²-1）-x-2，
當(dāng)x²=1時(shí)，無(wú)論a取任何值，y=-x-2為定值，
y=f（x）圖象一定過(guò)點(diǎn)C（1，-3）和D（-1，-1）
由函數(shù)定義可知函數(shù)圖象一定不過(guò)A（1，y₁）（y₁≠-3）和B（-1，y₂）（y₂≠-1）；

（3）存在x₀，ax₀²+（2b+1）x₀-a-2=0，
即（x₀²-1）a+（2x₀）b+x₀-2=0，可看作點(diǎn)（a，b）的直線方程，
而a²+b²=1可看作點(diǎn)（a，b）的圓，
直線與圓有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離d=

|x0-2|

(x02-1)2+4x02

≤1，
即

|x0-2|

x02+1

≤1，即為x₀-2≤x₀²+1，且x₀-2≥-x₀²-1，
解得x₀∈（-∞，

-1- 5

2

]∪[

-1+ 5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題，主要考查一次函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用主元法和直線和圓有交點(diǎn)的條件是解題的關(guān)鍵．