Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線l：y＝kx＋與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解　(1)設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)得

故所求C的方程為＋x²＝1.

(2)存在k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.理由如下：

設(shè)點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

將直線l的方程y＝kx＋代入＋x²＝1并整理得(k²＋4)x²＋2kx－1＝0.(*)

則x₁＋x₂＝

因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，

經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)(*)的判別式Δ>0，適合題意．

即(*)的判別式Δ>0恒成立．

所以當(dāng)k＝±時(shí)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.