Question

【題目】已知函數(shù)是上的奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）若，則不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若且在上的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意得出，求出的值，然后再利用奇函數(shù)的定義驗證函數(shù)為奇函數(shù)即可；

（2）由可得出，分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，再由為奇函數(shù)，由得出關(guān)于的不等式在上有解，可得出，即可求出實數(shù)的取值范圍；

（3）由且，可得出，可得出，換元，可得出，然后對分和，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合題中條件可求出實數(shù)的值.

（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，，，

當時，，定義域為，關(guān)于原點對稱，

且，此時函數(shù)為奇函數(shù)，因此，；

（2）由（1）可知，又，，解得.

則函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù)，

函數(shù)在上是增函數(shù)且為奇函數(shù)，

由，得在上有解，

在上有解，即在上有解，

，解得或.

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3），即，且，解得.

，令，又，則.

，.

則，令，

二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線.

①當時，函數(shù)在為增函數(shù)，，即不合乎題意；

②當時，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

，滿足.

綜上所述，.