Question

設(shè)a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=4^x+|2^x-a|（x∈R）．
（1）求證：函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）求函數(shù)y=f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)即可證明函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）利用換元法姜函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)y=f（x）的值域（用a表示）．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x）恒成立，
則f（0）=0，
∵f（0）=1+|1-a|≥1，
∴f（0）≠0，
即函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．
（2）令t=2^x，則t＞0，則原函數(shù)等價為y=t²+|t-a|，
①若a≤0，則y=t²+t-a，在t∈（0，+∞）上是增函數(shù)，即值域為（-a，+∞）
②若a＞0，則y=

t2+t-a 0＜t≤a t2+t-a t＞a

，
對于0＜t≤a，則y=（t-

1

2

）²+a-

1

4

，
當(dāng)0＜a＜

1

2

，y關(guān)于t的減函數(shù)，y的取值范圍是[a²，a），
當(dāng)a≥

1

2

時，y_min=a-

1

4

，
當(dāng)

1

2

≤a＜1時，y的取值范圍是[a-

1

4

，a），
當(dāng)a≥1時，y的取值范圍是[a-

1

4

，a²]，
對于t＞a，有y=t²+t-a=y=（t+

1

2

）²-a-

1

4

是關(guān)于t的增函數(shù)，其取值范圍是（a²，+∞），
綜上：a≤0時，函數(shù)的值域為（-a，+∞），
0＜a＜

1

2

時，函數(shù)的值域是[a²，a），
a≥

1

2

時，函數(shù)的值域是[a-

1

4

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和函數(shù)值域的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．注意要對a進(jìn)行分類討論．