Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的最小值為8，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）若函數(shù)g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)進(jìn)行分類討論求解；

（Ⅱ）先求的零點(diǎn)，結(jié)合二次方程根的分布情況可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（Ⅰ）函數(shù)，

令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），則h（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值為8，函數(shù)h（t）的對(duì)稱軸為t＝a，

①當(dāng)a≥2時(shí)，，此時(shí)；

②當(dāng)a≤﹣2時(shí)，，此時(shí)；

③當(dāng)﹣2＜a＜0時(shí)，，此時(shí)無解；

④當(dāng)0≤a＜2時(shí)，＝h（2）＝2a2﹣4a+2＝8，此時(shí)無解；

故實(shí)數(shù)a的值為.

（Ⅱ）令g（x）＝0，則f（x）＝8，

則由題意，方程t2﹣2at+2a2﹣2＝8，即t2﹣2at+2a2﹣10＝0必有兩根，且一根小于﹣2，另一根大于2，

則，解得﹣1＜a＜1．

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．