Question

設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)?x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)、減函數(shù)；
（2）問(wèn)在[-3，3]上，f（x）是否有最值？若有，求最值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0；再令y=-x⇒f（-x）=-f（x）從而可證f（x）是奇函數(shù)；任取x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）由（1）的單調(diào)性，和f（1）=-2，可求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： （1）證明：令x=y=0，知f（0）=0；
再令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f[x₂+（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）為R上的減函數(shù)；
（2）解：由于f（1）=-2．
則f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
即有f（-3）=-f（3）=6，
由f（x）為R上的減函數(shù)，則f（x）在[-3，3]上遞減，且有f（-3）最大，f（3）最小．
∴f（x）_max=f（-3）=6，f（x）_min=f（3）=-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，突出考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．