Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n（n+1），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=

1

an•an+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1=2n，再求得n=1時(shí)a₁的值，檢驗(yàn)是否滿足n≥2時(shí)的關(guān)系式，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）利用裂項(xiàng)法可得b_n=

1

8

（

1

n

-

1

n+2

），從而可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）n=1時(shí)，S₁=a₁=2…（1分），
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n…（3分）
經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)成立，…（4分）
綜上 a_n=2n…（5分）
（2）由（1）可知bn=

1

2n•2(n+2)

=

1

4

×

1

n•(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)…（7分）
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

8

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)…（9分）
=

1

8

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

8

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查裂項(xiàng)法的應(yīng)用，（2）中求得b_n=

1

8

（

1

n

-

1

n+2

）是關(guān)鍵，屬于中檔題．