Question

【題目】某校100名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間如下：

組號	第一組	第二組	第三組	第四組	第五組
分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]

（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生期中考試數(shù)學成績的平均分；
（Ⅲ）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其中恰有1人的分數(shù)不低于90分的概率？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005． （Ⅱ）由直方圖分數(shù)在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30，
[80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學生期中考試數(shù)學成績的平均分的估計值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
（Ⅲ）由直方圖，得：
第3組人數(shù)為0.3×100=30，
第4組人數(shù)為0.2×100=20人，
第5組人數(shù)為0.1×100=10人．
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，
每組分別為：
第3組： 人，
第4組： 人，
第5組： =1人．
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．
設第3組的3位同學為A1 ， A2 ， A3 ， 第4組的2位同學為B1 ， B2 ， 第5組的1位同學為C1 ， 則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：
（A1 ， A2），（A1 ， A3），（B1 ， B2），（A2 ， A3），（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A2 ， B1），（A2 ， B2），（A3 ， B1），（A3 ， B2），（A1 ， C1），（A2 ， C1），（A3 ， C1），（B1 ， C1），（B2 ， C1），
其中恰有1人的分數(shù)不低于90（分）的情形有：（A1 ， C1），（A2 ， C1），（A3 ， C1），（B1 ， C1），（B2 ， C1），共5種．
所以其中第4組的2位同學至少有一位同學入選的概率為

【解析】（1）根據(jù)所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關系，可求出所求；（2）均值為各組組中值與該組頻率之積的和；（3）先分別求出3，4，5組的人數(shù)，再利用古典概型知識求解．