Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x-1，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先討論a的取值：a=0，和a≠0的情況，a=0時(shí)，f（x）是一次函數(shù)，容易判斷此時(shí)f（x）只一個(gè)零點(diǎn)；a≠0時(shí)，f（x）是二次函數(shù)，要使f（x）只一個(gè)零點(diǎn)，即一元二次方程ax²+（a-1）x-1=0只一個(gè)解，所以△=（a-1）²+4a=0，解該方程即得a的值，所以合并a=0即得到f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件．

解答： 解：a=0時(shí)，f（x）=-x-1，令-x-1=0，x=-1，即f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，符合條件；
a≠0時(shí)，f（x）=ax²+（a-1）x-1，令ax²+（a-1）x-1=0，則該方程只有一個(gè)解；
∴△=（a-1）²+4a=0，解得a=-1；
∴f（x）有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a=0，或-1；
即函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件是a=0，或a=-1．
故答案為：a=0，或a=-1．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)零點(diǎn)的概念，充要條件的概念，以及一元二次方程解的情況和判別式△的關(guān)系．