已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(x-1)=f(3-x),且方程f(x)=2x有兩等根.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f(x)在[0,t]上的最大值.
考點(diǎn):二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)首先根據(jù)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx得對(duì)稱軸為x=-
b
2a
,再根據(jù)f(x-1)=f(3-x)可得對(duì)稱軸為x=1,∴2a+b=0.根據(jù)f(x)=2x有兩等根,可得∴△=(b-2)2=0,解得b=2
(2)求f(x)在[0,t]上的最大值需要對(duì)定義域進(jìn)行討論:分t<1和t>1兩種情形.
解答: 解:(1)∵方程f(x)=2x有兩等根,ax2+(b-2)x=0有兩等根,
∴△=(b-2)2=0,解得b=2,
∵f(x-1)=f(3-x),∴
x-1+3-x
2
=1,∴x=1是函數(shù)的對(duì)稱軸,
又此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=-
b
2a
,∴-
b
2a
=1,∴a=-1,
故f(x)=-x2+2x;
(2)∵函數(shù)f(x)=-x2+2x對(duì)稱軸為x=1,x∈[0,t],
∴當(dāng)t≤1時(shí),f(x)在[0,t]上是增函數(shù),∴f(x)max=-t2+2t,
當(dāng)t>1時(shí),f(x)在[0,1]上是增函數(shù),在[1,t]上是減函數(shù),∴f(a)max=f(1)=1,
綜上,f(x)max=
1t>1
-t2+2tt≤1
點(diǎn)評(píng):本題考查了待定系數(shù)法求解析式,以及分類討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值,屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m],其中m∈R,當(dāng)函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,2]時(shí),則實(shí)數(shù)m的取值范圍
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:x2+y2-2x-4y+m=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)
(Ⅰ)當(dāng)m為何值時(shí),曲線C表示圓;
(Ⅱ)若曲線C與直線 x+2y-3=0交于M、N兩點(diǎn),且OM⊥ON,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=3x-6的零點(diǎn)是( 。
A、0B、3C、2D、-6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2-n+1,則該數(shù)列是等差數(shù)列;
②各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,如果公比q>1,那么等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;
③等比數(shù)列1,a,a2,a3,…(a≠0)的前n和為Sn=
1-an
1-a
;
④等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S9<0,S10>0,則此數(shù)列的前5項(xiàng)和最小.
其中正確命題為
 
(填上所有正確命題的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和且n∈N+,所有項(xiàng)an>0,且Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an-
3
4

(1)證明:{an}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知兩正數(shù)x,y滿足x+2y=1,求xy的最大值
(2)當(dāng)x∈(1,+∞),不等式x+
1
x-1
≥a恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列各式錯(cuò)誤的是( 。
A、30.8>30.7
B、0.75-0.1<0.750.1
C、(
3
1.6>(
3
D、0.50.4>0.50.6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2+(a-1)x-1,有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件是
 

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