Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件：f（x-1）=f（3-x），且方程f（x）=2x有兩等根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx得對(duì)稱軸為x=-

b

2a

，再根據(jù)f（x-1）=f（3-x）可得對(duì)稱軸為x=1，∴2a+b=0．根據(jù)f（x）=2x有兩等根，可得∴△=（b-2）²=0，解得b=2
（2）求f（x）在[0，t]上的最大值需要對(duì)定義域進(jìn)行討論：分t＜1和t＞1兩種情形．

解答： 解：（1）∵方程f（x）=2x有兩等根，ax²+（b-2）x=0有兩等根，
∴△=（b-2）²=0，解得b=2，
∵f（x-1）=f（3-x），∴

x-1+3-x

2

=1，∴x=1是函數(shù)的對(duì)稱軸，
又此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=-

b

2a

，∴-

b

2a

=1，∴a=-1，
故f（x）=-x²+2x；
（2）∵函數(shù)f（x）=-x²+2x對(duì)稱軸為x=1，x∈[0，t]，
∴當(dāng)t≤1時(shí)，f（x）在[0，t]上是增函數(shù)，∴f（x）_max=-t²+2t，
當(dāng)t＞1時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，t]上是減函數(shù)，∴f（a）_max=f（1）=1，
綜上，f(x)max=

1 t＞1 -t2+2t t≤1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，以及分類討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，屬于基礎(chǔ)題．