Question

已知函數f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，當函數f（x）的值域為[0，2]時，則實數m的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：先去絕對值將函數f（x）變成：f（x）=

x3-3x x≥ 3 3x-x3 0≤x＜ 3

，通過求導判斷函數x³-3x在[

3

，+∞)單調遞增，并且令x³-3x=2得，x=2，因為f（x）的值域是[0，2]，所以x≤2；同樣的辦法可判斷函數3x-x³在[0，1]單調遞增，在（1，

3

）單調遞減，所以x=1時該函數取最大值2，x=0時取最小值0，所以函數f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，并且x∈[0，2]時f（x）的值域也是[0，2]，所以m∈[1，2]．

解答： 解：f（x）=x|x²-3|=

x3-3x x≥ 3 3x-x3 0≤x＜ 3

；
（1）（x³-3x）′=3x²-3，∴x³-3x在[

3

，+∞)上單調遞增，令x³-3x=2得，x=2，∴x∈[

3

，2]；
（2）（3x-x³）′=3-3x²，∴3x-x³在[0，1）單調遞增，在[1，

3

）上單調遞減，∴x=1時3x-x³取最大值2，x=0時，取最小值0，即此時f（x）∈[0，2]，∴x∈[0，

3

)，且x∈[0，1]時f（x）的值域為[0，2]；
∴x∈[0，1]f（x）值域是[0，2]，x∈[0，2]時f（x）的值域也是[0，2]；
∴m∈[1，2]；
即實數m的取值范圍為[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點評：考查處理含絕對值函數的方法，通過求導判斷函數單調性的方法，以及函數單調性定義的應用，函數的值域的概念及函數最值的求法．