Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，點P在底面的射影Q在CD上，且PQ=

15

，DQ=1．M為PC的中點．
（Ⅰ）證明：AD⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直線AQ與平面MBD所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)線面垂直得到面面垂直，進一步得到線面垂直．
（Ⅱ）利用空間直角坐標系，和法向量求線面的夾角．

解答： 解（Ⅰ）證明  由題意可知，PQ⊥平面ABCD，
PQ?平面，
所以平面PCD⊥平面ABCD．
又因為AD⊥CD，
所以AD⊥平面PCD
（Ⅱ）建立空間直角坐標系如圖，由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標分別是D（0，-1，0），M ( 0 ， 

3

2

 ， 

15

2

 )，A（2，-1，0），Q（0，0，0），B（2，3，0），
則

DB

= ( 2 ， 4， 0 )，

DM

=( 0 ， 

5

2

 ， 

15

2

 )．
設(shè)

n

=( x ， y ， z )是平面MBD的一個法向量，
由

n • DB =0 n • DM =0

得

2x+4y=0         5 2 y+ 15 2 z=0

．
取x=6，得

n

=( 6 ， -3 ， 

15

 )．
又

QA

= ( 2 ， -1 ， 0 )，所以cos＜

QA

，

n

＞=

QA • n

| QA |•| n |

=

15

5 • 60

=

3

2

．
從而直線AQ與平面MBD所成的角是60°．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理，法向量的應(yīng)用線面夾角的應(yīng)用．