Question

設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-ag（x）（a為常數(shù)），f（x）=

ex

x2

，g（x）=

2

x

+lnx，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（Ⅰ）求曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，求函數(shù)F（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)F（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再求出g（1）的值，由直線方程的點(diǎn)斜式求得曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，由a≤0求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，得到原函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求得函數(shù)F（x）的極小值，也是最小值；
（Ⅲ）由函數(shù)F（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，得其導(dǎo)函數(shù)在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)，由此得到不等式組

lna＜2 t(lna)=elna-alna＜0 t(2)=e2-2a＞0

，求解不等式組得答案．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=

2

x

+lnx，則g′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

，
∴g′（1）=-1，
又g（1）=2，
∴曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為y-2=-1×（x-1）．
即x+y-3=0；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-ag（x）=

ex

x2

-a（

2

x

+lnx），
F′(x)=

ex•x2-2x•ex

x4

-a(-

2

x2

+

1

x

)=

x(x-2)(ex-ax)

x4

（x＞0）．
∵a≤0，
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，在x∈（2，+∞）上F′（x）＞0，函數(shù)F（x）為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值為F（2）=

e2

4

-a(1+ln2)；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F′(x)=

ex•x2-2x•ex

x4

-a(-

2

x2

+

1

x

)=

x(x-2)(ex-ax)

x4

，
要使函數(shù)F（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則
方程e^x-ax=0在（0，2）上有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，
令t（x）=e^x-ax，
則t′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，t′（x）＞0，不滿足題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，由則t′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
由x→0時(shí)，t（x）→1，
∴要使函數(shù)t（x）在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則

lna＜2 t(lna)=elna-alna＜0 t(2)=e2-2a＞0

，解得：e＜a＜

e2

2

．
∴若函數(shù)F（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是(e，

e2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是高考試卷中的壓軸題．