Question

正項數(shù)列{a_n}滿足：a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=a_n•3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得（a_n-2n）（a_n+1）=0，由a_n＞0，求出a_n=2n．
（2）由b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前項和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0
∵a_n＞0，∴a_n=2n．
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，
∴T_n=2•3+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，
3T_n=2•3²+4•3³+6•3⁴+…+2n•3ⁿ⁺¹，
兩式相減，得：
-2T_n=6+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹
=6+2×

9(1-3n-1)

1-3

-2n•3ⁿ⁺¹
=-（2n-1）•3ⁿ⁺¹-3．
∴T_n=（n-

1

2

）•3ⁿ⁺¹+

3

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．