Question

（1）已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過點（

5

2

，-

3

2

），求它的標準方程；
（2）若橢圓經(jīng)過兩點（2，0）和（0，1），求橢圓的標準方程，并寫出焦點坐標．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設橢圓標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由橢圓定義能求出a=

10

，又c=2，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）當橢圓的焦點在x軸上時，設所求橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．由橢圓經(jīng)過兩點（2，0），（0，1），求出a=2，b=1，從而得到橢圓的標準方程為

x2

4

+y²=1；當橢圓的焦點在y軸上時，設所求橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0）．由橢圓經(jīng)過兩點（2，0）、（0，1），解得a=1，b=2，與a＞b矛盾，故舍去．

解答： 解：（1）∵橢圓焦點在x軸上，∴設其標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由橢圓定義知2a=

( 5 2 +2)2+(- 3 2 )2

+

( 5 2 -2)2+(- 3 2 )2

=2

10

，
解得a=

10

，又c=2，
∴b²=10-4=6，
∴橢圓的標準方程為

x2

10

+

y2

6

=1．
（2）當橢圓的焦點在x軸上時，設所求橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
∵橢圓經(jīng)過兩點（2，0），（0，1），
∴

4 a2 + 0 b2 =1 0 a2 + 1 b2 =1

，解得a=2，b=1，
∴所求橢圓的標準方程為

x2

4

+y²=1；
當橢圓的焦點在y軸上時，
設所求橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0）．
∵橢圓經(jīng)過兩點（2，0）、（0，1），
∴

0 a2 + 4 b2 =1 1 a2 + 0 b2 =1

，解得a=1，b=2，與a＞b矛盾，故舍去．
綜上可知，所求橢圓的標準方程為

x2

4

+y²=1．其焦點坐標為：F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意橢圓的簡單性質(zhì)的合理運用．