Question

仔細觀察下面的不等式，尋找規(guī)律，合理猜想出第n個不等式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想．
（1+

1

1

）＞

3

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）＞

5

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）＞

7

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）（1+

1

7

）＞

9

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）（1+

1

7

）（1+

1

9

）＞

11

．…

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：觀察所給不等式，注意不等式的左邊與右邊的特征，得到猜想，然后利用數(shù)學歸納法的證明標準，驗證n=1時成立，假設n=k是成立，證明n=k+1時等式也成立即可．

解答： 解：猜想：(1+

1

1

)(1+

1

3

)(1+

1

5

)•…•(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

…（3分）
證明：（1）n=1時，不等式顯然成立．…（4分）
（2）假設n=k時，不等式成立，即(1+

1

1

)(1+

1

3

)•…•(1+

1

2k-1

)＞

2k+1

成立，
當n=k+1時，
不等式的左邊=(1+

1

1

)(1+

1

3

)•…•(1+

1

2k-1

)(1+

1

2k+1

)＞

2k+1

(1+

1

2k+1

)…（4分）
下面證明：

2k+1

(1+

1

2k+1

)≥

2k+3

，由于這個不等式的兩邊都是正數(shù)，只要證明(2k+1)(1+

1

2k+1

)2≥2k+3即可．
而(2k+1)(1+

1

2k+1

)2=(2k+1)(1+

2

2k+1

+

1

(2k+1)2

)＞(2k+1)(1+

2

2k+1

)=(2k+1)

2k+3

2k+1

=2k+3．故n=k+1時不等式成立．
綜合（1）和（2）知原不等式對一切正整數(shù)成立．…（14分）

點評：本題考查歸納推理，用數(shù)學歸納法證明等式，證明故當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關鍵．