Question

已知

a

=（

3

2

，cos2x），

b

=（sin2x，

1

2

）函數(shù)f（x）=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由平面向量數(shù)量積及三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．由周期公式即可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律“左加右減，上加下減”即可得解．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）∵

a

=（

3

2

，cos2x），

b

=（sin2x，

1

2

）
∴f（x）=

a

•

b

+

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

…（2分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（4分）
依題意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即　kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（7分）
（2）先把y=sin2x圖象上所有點(diǎn)向左平移

π

12

個(gè)單位長度，得到y=sin(2x+

π

6

)的圖象，
再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移

3

2

個(gè)單位長度，就得到y=sin(2x+

π

6

)+

3

2

的圖象．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．