Question

已知中心在原點，一焦點為F（0，

40

）的橢圓被直線L：y=2x-2截得的弦的中點橫坐標(biāo)為

1

3

，求此橢圓的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)焦點坐標(biāo)得出a²-b²=40，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點的橫坐標(biāo)的表達式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．

解答： 解：∵橢圓中心在原點，一焦點為F（0，

40

），
∴設(shè)橢圓為

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0），a²=b²+c²=b²+40，①
把y=2x-2代入橢圓方程，得（a²+4b²）x²-8b²x+4b²-a²b²=0，
∵橢圓被直線l：y=2x-2截得的弦的中點橫坐標(biāo)為

1

3

，
∴

4b2

a2+4b2

=

1

3

，整理，得a²=8b²，②
由①②解得：a²=

320

7

，b²=

40

7

，
∴橢圓為：

x2

320 7

+

y2

40 7

=1．

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．